Position, vitesse, accélération
Il n'est pas essentiel de le faire pour déterminer le comportement de la fusée durant son décollage, mais il peut être intéressant de calculer la vitesse ainsi que l'accélération de la fusée.
Tout d'abord, il faut pouvoir calculer la vitesse. Pour cela, on utilise un logiciel de pointage, nommé Pymecavideo, afin, pour une vidéo à 30 images par seconde, de placer un point sur la position de la fusée tous les 1/30s dans son trajet. En plaçant une vidéo dans le logiciel et en pointant la trajectoire de la fusée, on obtient le graphique suivant :
On remarque que la fonction de l'altitude en fonction du temps est croissante sur l'intervalle ]0:0,35]. Néanmoins, on peut noter que les tangentes tendent vers l'horizontale, ce qui signifie que la dérivée de l'altitude en fonction du temps est décroissante, comme nous avons pu le voir précédemment avec la vitesse de formation des gaz, et que cette dérivée tend vers une constante.
Cela signifie que la vitesse de la fusée est décroissante, ce que l'on peut vérifier en rentrant dans un tableur les variations de position en fonction du temps. On obtient ainsi ce graphique qui montre bien la diminution de la vitesse moyenne à chaque 1/20s, et ainsi le caractère décroissant de celle-ci :
Il s'agit ensuite d'évaluer l'accélération de la fusée, celle-ci étant la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Tout d'abord, comme pour déterminer l'évolution de la vitesse, on regarde l'évolution des tangentes. Celles-ci ont un coefficient directeur négatif, mais il semble tendre vers 0, l'accélération tend donc vers une constante.
On peut calculer la valeur moyenne de cette accélération, en divisant la variation de la vitesse Δv par la variation de temps Δt.
On sait que : - la fusée parcourt 3,3m en 0,1s entre 0s et 0,1s, sa vitesse à 0,05s est donc de v=[1-(-2,3)] x 0,1=33m/s
- de même sa vitesse à 0,35s est de v=(3,7-3,2) x 0,1=5m/s
donc a=Δv/Δt
=(20-33)/(0,10-0,05)
=-260m/s².
Cette accélération est croissante et tend vers une constante, qui est sa valeur maximale, ce que l'on peut observer si l'on calcule l'accélération moyenne entre 0,3s et 0,35s, en calculant la vitesse de la fusée à 0,3s, v=(3,7-3) x 0,1=7m/s.
Ainsi a=Δv/Δt
=(5-7)/(0,35-0,30)
=-40m/s²
On peut trouver facilement la limite de l'accélération grâce à la deuxième loi de Newton. En effet, celle-ci énonce que la somme des forces appliquées à la fusée est égale au produit de la masse par l'accélération de la fusée.
On peut noter cette relation ∑Fext=m.a
Or on sait que la limite de l'accélération est atteinte lorsque la vitesse est nulle et par conséquent que la fusée ne se déplace plus dans le référentiel. Cela signifie que la force de poussée F vue précédemment est elle aussi nulle à cet instant, et que la seule force qui agit sur la fusée est son poids. On a donc :
P=m.a
m.g=m.a
g=a
L'accélération atteint donc sa limite pour |a|=|g|=9,81m/s²
Or le poids est une force orientée vers le bas, donc a=g=-9,81m/s²
En résumé, grâce à la mesure de la position et au calcul de la vitesse, nous avons pu calculer et observer l'évolution de l'accélération de la fusée sur l'intervalle de temps étudié. A l'aide de la deuxième loi de Newton, nous avons ensuite réussi à calculer la limite de cette accélération, c'est-à-dire la valeur vers laquelle elle tendait.
