Poussée et quantité de mouvement
Afin que la fusée décolle, il faut une force qui soit opposée au poids, et qui de plus soit plus forte que ce dernier. Cette force, c'est la poussée. La poussée est la force créée par l'éjection des gaz et qui, par réaction, propulse la fusée vers le haut.
En effet, le principe d'action et de réaction (nom controversé du fait du caractère incohérent dans certaines situations : on imagine mal la Terre propulser une personne qui saute) énoncé par Newton dans la 3ème loi de ce dernier dit "L'action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.". Cela signifie que si un système A exerce une certaine force sur un système B, il subit une force de même intensité et de même direction, mais de sens opposé, exercé par le système B.
On obtient ainsi la relation FA/B = -FB/A.
On peut illustrer cette loi simplement, par exemple avec l'image d'un pêcheur qui aurait perdu ses rames. Or par chance il possède un tas de pierres dans sa barque. Il décide alors de les lancer vivement en arrière. A chaque lancer il exerce une force sur la pierre et subit en retour la réaction de la pierre sur la main, force égale mais de sens opposé qui propulse le pêcheur et la barque vers l’avant.
Rappelons que c'est la poussée qui permet à la fusée de se déplacer verticalement vers le haut. Cette force résulte du produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d’éjection de ces gaz. Il s'agit donc de rechercher la valeur de la masse de CO2 éjecté en fonction du temps, mais aussi la vitesse à laquelle ces gaz sont éjectés.
On commence tout d'abord par calculer la masse de CO2 (mCO2) contenue dans la fusée avant le décollage. Il faut donc utiliser la formule n=m/M avec n la quantité de matière en mol, m la masse en g et M la masse molaire en g/mol. On sait que jusqu'à 0,4mol de CO2 peuvent se former dans la bouteille et que la masse molaire de ce gaz est M=44,0g/mol,
donc mCO2=n.M=0,4 x 44,0=17,6g.
Il faut ensuite mesurer la vitesse d'éjection de ces gaz. N'ayant pas suffisamment d'outils et de moyens pour mesurer la vitesse à laquelle les gaz sont éjectés de la fusée, on conjecture que cette vitesse d'éjection est similaire à la vitesse de formation des gaz dans la bouteille, c'est-à-dire la variation de la quantité de gaz créée en fonction du temps, et donc la dérivée de la quantité de gaz formée. Pour cela, il faut donc mesurer la vitesse de formation des gaz lors de cette réaction. On utilise alors la technique de récupération de gaz par dégagement d'eau. Ceci nécessite un matériel particulier : une burette graduée, un cristallisoir, une bouteille, un tube à dégagement, un bouchon adapté au goulot et muni d'un trou de la bouteille, une éprouvette graduée d'un litre. En ce qui concerne les quantités de vinaigre et de bicarbonate de soude, on les divise par 10, car 0,4mol de CO2 correspondent à 9,11L, or nous ne disposons pas d'éprouvette pouvant contenir un tel volume. On n'utilise donc que 30mL de vinaigre et 3,36g de bicarbonate de soude, afin d'obtenir en théorie 0,911L de CO2.
Protocole :
- nettoyer la burette graduée à l'eau distillée, la conditionner au vinaigre et placer 30mL de vinaigre à l'intérieur
- remplir le cristallisoir ainsi que l'éprouvette graduée d'eau et retourner l'éprouvette graduée dans le cristallisoir en veillant à ce qu'il n'y ait pas d'air qui rentre dans l'éprouvette
- placer le bicarbonate de soude dans la bouteille
- placer l'extrémité du tube à dégagement dans le trou du bouchon (veiller à ne pas boucher la bouteille directement et à mettre l'autre extrémité du tube sous l'éprouvette graduée)
- laisser couler le vinaigre dans la bouteille et vite boucher cette dernière avec le bouchon lié au tube
- observer la baisse du niveau d'eau selon le temps et en tirer une conclusion.
Pour observer cette expérience (avec la récupération des gaz d'une boisson gazeuse) : https://www.youtube.com/watch?v=XQupDmXX9XI
Ainsi, à l'aide de cette expérience, en rentrant le volume créé de gaz en fonction du temps dans un tableur, on obtient la courbe suivante :
Pour calculer la force de poussée F, on considèrera que la masse des fluides éjectés est constante malgré une baisse de la pression dans la bouteille qui devrait entraîner une baisse de la quantité de matière éjectée en fonction du temps. Le temps de la phase de propulsion de la fusée étant environ égale à 3s, on considèrera que la fusée expulsera une masse en fonction du temps
m/Δt=17,6/3=5,87g/s.
On remarque que plus le temps passe, plus le volume de gaz créé augmente lentement. La fonction du volume créé en fonction du temps est donc croissante sur l'intervalle ]0;+∞[. On rappelle que la variation du volume de gaz créé en fonction du temps correspond ici à la variation distance parcourue à l'éjection de ces gaz en fonction du temps. On cherche donc la dérivée de la distance par rapport au temps, qui correspond à la vitesse.
A défaut de pouvoir calculer la vitesse, on sait que celle-ci sera toujours décroissante, car la courbe de la fonction du volume de gaz créé en fonction du temps est croissante mais tend vers une constante. Or, la dérivée d'une fonction est toujours négative si la fonction est décroissante, nulle si elle est constante et positive si elle est croissante, car la dérivée de chacune des abscisses de l'intervalle donne le coefficient directeur de la tangente de la courbe au point ayant cette abscisse. Si la fonction est strictement croissante, alors le coefficient directeur de la tangente sera toujours positif, tout comme la dérivée de la fonction. On sait que la fonction tend vers 911, car c'est le volume maximal en mL que l'on peut atteindre, et on remarque que la courbe tend de plus en plus vers l'horizontale lorsque le temps passe, les tangentes de la courbe tendent donc progressivement vers l'horizontale. Leur coefficient directeur est donc de plus en plus petit, en tendant vers 0, valeur obtenue pour une tangente horizontale, lorsque la fonction n'est ni croissante, ni décroissante, mais constante. La dérivée de cette fonction, et donc la vitesse va être décroissante en tendant vers 0.
On peut vérifier cela en réalisant un graphique de barres, montrant le volume de gaz obtenu chaque 20s :
On remarque bien que la vitesse de formation est décroissante et tend vers 0.
On peut donc en conclure que la force exercée par la fusée sur les gaz est réciproque : les gaz exercent une force de même intensité et même direction, mais de sens opposé sur la fusée. On assiste donc à un phénomène de conservation de la quantité de mouvement. La quantité de mouvement est une grandeur physique liée à la vitesse et la masse d'un objet. Elle se note p et se calcule grâce à la relation p=m.v.
Grâce à la loi des actions réciproques, on sait que la quantité de mouvement des gaz éjectés est égale à celle de la fusée, les deux systèmes ayant subi la même force. On a donc la relation :
mgaz.Vgaz=mfusée.Vfusée
Or plus il y a de gaz éjectés, plus la vitesse de ces gaz diminue. La vitesse et la masse du total des gaz éjectés évoluent donc inversement, permettant à leur produit de se maintenir à une constante. Cela nous permet de conjecturer que si la fusée était un système isolé qui ne subirait aucune autre force que la poussée, plus sa masse diminuerait (dû à l'éjection des produits de la réaction) plus sa vitesse augmenterait, jusqu'à atteindre une certaine valeur permettant à sa quantité de mouvement de se maintenir à la constante observée précédemment.
Cela nous permet de conjecturer que la force de poussée F va elle aussi tendre vers 0, étant le produit d'une constante (C=5,87) par une fonction qui tend elle aussi vers 0. On néglige alors la limite de la constante, qui est égale à elle-même.
Néanmoins, pour avoir un mouvement ascensionnel, la force de poussée F (orientée vers le haut) doit être supérieure au poids P (orienté vers le bas.
or Pfusée=m.g=0,150 x 9,81=1,47N
avec P le poids en Newton N, m la masse en kg et g l'intensité de pesanteur en N/kg.
La force de poussée F doit donc être supérieure à 1,47N pour subir un mouvement ascensionnel. Lorsque le poids sera plus grand que la poussée, la fusée retombera.
En résumé, la force qui propulse la fusée vers le haut est la poussée. Celle-ci est issue de la force réciproque de celle exercée sur les gaz éjectés par la fusée. Elle est obtenue par le produit de la masse des gaz éjectés en fonction du temps (débit massique) par la vitesse d'éjection de ces gaz. Cette force doit être supérieure au poids de la fusée pour qu'elle décolle, mais elle tend vers 0 Newton, raison pour laquelle la fusée finit par retomber.